Invest-currency.ru

Как обезопасить себя в кризис?
8 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Теневая цена в линейном программировании это

Двойственная задача линейного программирования

Каждой исходной задаче соответствует двойственная ЗЛП.

Если в исходной задаче ищется , определяются значения n переменных x1, x2, …, xn и используется m ограничений; то в двойственной задаче находятся , значения m переменных y1, y2, …, ym и используется n ограничений.

Для условий типовой исходной задачи составим модель двойственной задачи. Для правильного перехода к двойственной задаче в исходной задаче на max все знаки неравенств должны иметь вид «£»:

Правила составления двойственной задачи:

1. Число переменных в двойственной задаче равно числу ограничений в исходной задаче, т.е. в нашем случае m = 4: y1, y2, y3, y4.

2. Матрица коэффициентов системы ограничений двойственной задачи получается из матрицы коэффициентов системы ограничений исходной задачи путем ее транспонирования, т.е.

3. Знаки «£» в системе ограничений заменяются на противоположные «³».

4. Свободными членами двойственной задачи являются коэффициенты целевой функции исходной задачи, и наоборот, коэффициенты целевой функции двойственной задачи являются свободными членами в системе ограничений исходной задачи.

5. На каждую переменную двойственной задачи накладывается условие неотрицательности.

Используя эти правила, запишем двойственную задачу

Ограничения двойственной задачи показывают, что предприятие, продающее сырье, заинтересовано в том, чтобы выручка от продажи была не менее той суммы, которую предприятие может получить при переработке сырья в готовую продукцию. Поэтому выручка от продажи сырья, используемого при изготовлении продукции, должна быть не менее ее цены ci.

Вид целевой функции Z показывает, что организация, покупающая ресурсы, заинтересована в том, чтобы затраты на все сырье были минимальны.

Таким образом, необходимо найти такой набор теневых цен (оценок) ресурсов , при котором общие затраты на сырье Z будут минимальными (min) при условии, что выручка от продажи сырья А, В, С, используемого при производстве единицы продукции I и II видов, будет не менее единичной прибыли (прибыли от реализации единицы продукции).

Искомыми переменными являются y1, y2, y3 – теневые (внутренние) цены на сырье. Теневая цена выражает величину изменения целевой функции F (прибыли) при изменении имеющегося объема сырья данного вида (т.е. в исходной задаче – правой части неравенства) на единицу при условии, что все остальные переменные не изменяются. Теневая цена имеет и другие названия: условная, скрытая, неявная. Смысл этих названий в том, что это условные, ненастоящие цены, которые определяются непосредственно в результате решения задачи, поэтому их называют оценками.

Переменная y4 также имеет неявный смысл и выражает величину изменения прибыли F при изменении на единицу правой части ограничения–неравенства x1 + x2 ≥ 10 ед. (общее количество производимой продукции должно быть не менее 10 единиц). Полученное значение переменной y4 можно назвать оценкой снижения выручки от продажи сырья за счет отвлечения ресурсов для производства количества продукции, превышающего 10 единиц.

Найдем оптимальное решение двойственной задачи. Для этого составим соотношение между переменными исходной и двойственной задач и используем индексную F–строку последней табл. 4 (функцию F исходной задачи, выраженную через свободные переменные: ).

Двойственная задача. Теневые цены

Для любой задачи линейного программирования можно сформулировать двойственную задачу. Двойственная задача является своеобразным «зеркальным отражением» исходной задачи, поскольку ее формулировка использует те же параметры, что и исходная задача, а ее решение может быть получено одновременно с решением исходной задачи. Фактически при решении исходной задачи симплекс-методом одновременно решается и двойственная задача, и наоборот. Следует также отметить, что исходная и двойственная задачи совершенно симметричны. Если двойственную задачу рассматривать как исходную, то исходная будет для нее двойственной.

Одной из важнейших «зеркальных» связей между исходной и двойственной задачами является связь «переменные решения – теневые цены ресурсов». Для того чтобы уловить эту связь, сформулируем содержательно двойственную задачу к знакомой нам задаче об оптимальном плане выпуска продукции мебельного цеха.

4.1 Постановка двойственной задачи к задаче об оптимальном плане выпуска продукции мебельного цеха

Пусть имеется покупатель на все ресурсы, используемые для выпуска продукции мебельного цеха (ДСП, стекло и труд). Таблица параметров та же, что и для исходной задачи (см. табл. 3).

Какие цены на эти ресурсы нужно назначить, чтобы продать их было выгоднее, чем производить продукцию? Какую минимальную сумму можно выручить от продажи ресурсов при этом условии?

Таблица 3 – Параметры задачи

Поскольку в этой задаче три вида ресурсов, то переменных решения, очевидно, тоже должно быть три. Это цены, которые назначает производитель при продаже:

1 дня труда рабочего цеха — y3.

Сразу заметим, что эти цены называются теневыми. Они, разумеется, не могут иметь никакого отношения к рыночным ценам на данные ресурсы, поскольку, как будет видно из решения, никаких рыночных (или внерыночных) механизмов формирования цен на данные ресурсы в решении не рассматривается.

Теневые цены характеризуют ценность ресурсов для производителя.

Целевая функция — это, очевидно, прибыль, которую получит производитель — продавец ресурсов, если продаст по этим ценам все имеющиеся ресурсы. Таким образом, целевая функция, записанная в таблице элементов модели, — это сумма произведений искомых цен y1, y2, y3 на запасы имеющихся ресурсов, приведенных в соответствующем столбце таблицы параметров задачи. Разумеется, интерес продавца ресурсов состоит в том, чтобы продать их подороже. Однако интерес покупателя в том, чтобы купить их подешевле.

Решение данной задачи позволит продавцу определить нижние границы цен на ресурсы, которые он может назначить, чтобы прибыль от их продажи была не ниже, чем прибыль от производства товаров на основе этих ресурсов. Целевую функцию данной задачи можно также рассматривать как издержки покупателя ресурсов, которые необходимо минимизировать, приняв во внимание интересы производителя — продавца ресурсов.

Цель производителя — продавца ресурсов — найти минимальное значение суммарной выручки от продажи всех ресурсов при условии, что продать их было бы не менее выгодно, чем производить из них продукцию.

Соответственно при записи ограничений в таблице элементов модели (табл. 4) использован тот же принцип. Если производитель (продавец ресурсов) хочет продать 3,5 м ДСП, 1 м стекла и 1 день труда рабочего, то он должен получить не меньше, чем прибыль от производства одного шкафа (на который, согласно данным таблицы параметров, и идут все эти ресурсы). Аналогично если он хочет продать 1 м ДСП, 2 м стекла и 1 день труда рабочего он должен получить не меньше, чем прибыль от производства одной тумбы.

Теневая цена в линейном программировании это

Блок 9 отражает эколого-экономические результаты деятельности предприятия. При расчетах значения этого блока построены на основе удельных величин, отнесенных на 1т добытой нефти или 1 м3 добытой жидкости. Блок включает коэффициенты приведения к теневым ценам для каждого вида затрат (доходов) и норму дисконта, отражающую степень влияния фактора времени на оценку использования природных ресурсов с учетом экологического фактора. [c.135]

В основе экономического анализа лежит идея проведения расчетов в истинных экономических ценностях, очищенных от влияния нерыночных факторов, таких как налоги, субсидии и тому подобные регулирующие платежи. Для определения выгод и затрат по проекту используются в странах с переходной экономикой, в том числе и России, так называемые теневые цены. Использование продукта или услуги в качестве ресурса для проекта будет означать либо отвлечение этого ресурса [c.33]

Читать еще:  Введение в программирование паскаль

Наконец, мы покажем, как анализировать теневые цены, которые являются составной частью решения, предлагаемого моделью. Эти теневые цены упрощают понимание показателя «скорректированная приведенная стоимость», которым измеряется стоимость инвестиционного проекта, требующего важных решений в выборе финансовых источников. Понятие «скорректированная приведенная стоимость» и его применение уже рассматривались в главе 19. В данном приложении этот метод будет показан более детально. [c.784]

Ограничения Теневые цены Объяснения [c.789]

Под теневыми ценами имеются в виду изменения в целевой функции на единицу изменений в ограничениях «. В нашем примере целевая функция состоит в увеличении чистой приведенной стоимости. Следовательно, теневая цена 0,1 предельной суммы инвестиций означает, что если бы компания могла вложить 1 000 001 дол. вместо 1 млн дол., чистая приведенная стоимость возросла бы на 10 центов. Теневая цена заемного капитала в 0,5 означает, что если бы компания могла получить кредит на сумму 400 001 дол. вместо 400 000 дол. при условии неизменности суммы инвестиций (1 млн дол.), чистая приведенная стоимость возросла бы на 50 центов. [c.789]

Теневые цены при такой постановке проблемы следующие [c.790]

Теневые цены инвестиционного проекта снижаются на 0,06 — с 0,10 до 0,04 дол. на каждый вложенный доллар. Это происходит потому, что дополнительные инвестиции можно финансировать заемными средствами только на 40%. Остальные ресурсы должны быть получены за счет выпуска акций. Поэтому стоимость возможности инвестировать дополнительный доллар снижается на 0,6 х 0,1 = 0,06. [c.790]

Теневые цены инвестиционных ограничений особенно интересны, так как именно они показывают предельный вклад проекта в величину рыночной стоимости компании, когда учтены все побочные последствия выбранных способов финансирования проекта. В данном случае предельный вклад проекта составляет 4 цента на каждый вложенный доллар. Напомним, что проект имеет отрицательную чистую приведенную стоимость, когда рассматривается изолированно. Однако у него есть один благоприятный побочный эффект (инвестиции позволяют компании получить заемный капитал) и один неблагоприятный побочный эффект ( инвестиции требуют дополнительного выпуска акций и обусловливают расходы на эмиссию). [c.790]

Теневая цена проекта может быть рассчитана, если за точку отсчета принять начальное значение чистой приведенной стоимости проекта —0,1, добавить стоимость предельного вклада проекта в привлечение кредита и вычесть предельные издержки, возникающие при выпуске акций, которые необходимы для его финансирования [c.790]

Инвестирование каждого более эффективного доллара смягчает ограничения на привлечение заемного капитала на 0,40 дол. и ужесточает ограничения на имеющиеся денежные средства на 1 дол. Таким образом, мы можем выделить побочный эффект каждого из способов финансирования компании, учитывая теневые цены обоих ограничений. Дополнительная кредитоемкость может быть оценена в 60 центов на каждый вложенный доллар, а использованные денежные средства компании стоят 10 центов на каждый вложенный в проект доллар. Следовательно [c.790]

На основании теории двойственности в математическом программировании можно построить задачу, двойственную данной, а полученные при ее решении так называемые двойственные переменные (объективно обусловленные оценки, теневые цены, скрытые цены, неявные цены) позволяют определить альтернативную стоимость используемых в проекте дефицитных ресурсов. [c.222]

Экономические цены (теневые цены) — цены, в которых измеряется общественная значимость продукции, услуг, ресурсов и иностранной валюты. [c.123]

В соответствии с разд. 4 Рекомендаций и Приложением 1 общественная эффективность проекта должна оцениваться в специальных экономических (теневых) ценах, которые могут быть получены преобразованием рыночных цен с исключенными трансфертами. Трансферты (в том числе налоговые изъятия) должны быть исключены также и из самого расчета. [c.256]

В такой постановке имеем задачу оптимального управления по параметрам интенсивности ГРР п и интенсивности добычи q. Для ее решения необходимо задать функции затрат на разведку сг(п) и добычу i(R), а также функцию p=f(q), характеризующую зависимость цен на нефть от объемов ее потребления. Решение задачи определяет оптимальную динамику объемов ГРР, добычи и цен, выполняющих функции замыкающих затрат на нефть и газ. Оценки ограничений являются теневыми ценами (оптимальными оценками) дополнительной единицы запасов в недрах — ограничение (18) и прироста накопленных. запасов — ограничение (19). Первая оценка отражает изменение дисконтированного будущего дохода от добычи, связанное с изменением объема запасов в недрах, вторая учитывает [c.85]

Представляет интерес интерпретация множителей Лагранжа в этой задаче. Известно, что множители Лагранжа имеют смысл теневой цены они отражают изменения в оптимальном значении целевой функции, соответствующие малому изменению в ограничении. В нашей задаче речь идет о предельном увеличении (уменьшении) народнохозяйственной прибыли за счет увеличения (уменьшения) запасов на 1 т. Но именно это содержание вкладывается в понятие потребительной стоимости (затрат обратной связи) X. С учетом условия первого порядка величина X действительно равна разности между ценой и приростными затратами текущего периода, или их дисконтированной оценке в следующем периоде. [c.121]

Важнейшей задачей в области оптимизации использования исчерпаемых ресурсов является установление соотношения между ценой ресурсов и объемом их текущего потребления. Очевидно, должна существовать некоторая цена (оптимальная оценка ресурсов, или их теневая цена), отражающая действительную стоимость потребления исчерпаемых ресурсов для общества. Такая цена может быть определена из анализа соотношений между объемом потребности в ресурсе и возможностями ее покрытия, т. е. при изучении кривых планового спроса и предложения. [c.126]

Все затраты и выгоды измеряются в теневых ценах. [c.90]

Ценность дополнительной единицы 1-го ресурса (теневая цена) [c.48]

Ограничения на денежные средства, имеющиеся в распоряжении компании, не связаны с оптимальным решением. Компания получает на 200 000 дол. больше заемного капитала, чем ей необходимо, и поэтому теневая цена этого офаниче-ния равна нулю. Иначе говоря, избыточные денежные средства, полученные компанией, будут иметь чистую приведенную стоимость, равную нулю. [c.789]

Теневые цены имею значение лишь при условии предельных изменений в ограничениях. Однако критерий отнесения данных сдвигов в ограничениях к предельным меняется п зависимости от кажтом конкретной проблемы. [c.789]

В экономике, где искажения немногочисленны, рыночные цены приближаются к альтернативной стоимости вводимых ресурсов и продукции. Однако в экономике, характеризующейся ценовыми искажениями, рыночные цены плохо отражают такую стоимость, и финансовая оценка проекта обычно значительно отличается от его экономической оценки. Требуется корректировка ценовых искажений с помощью введения в оборот «теневых» цен (взамен рыночных цен), которые точнее отражают альтернативные издержки и выгоды проекта. Хотя, в принципе, все цены должны быть скорректированы так, чтобы отражать альтернативную стоимость, подобные вычисления заняли бы слишком много времени и были бы слишком дороги. На практике совершают лишь несколько корректирующих операций. Наиболее важные из них касаются цен на товары внешнеторгового и невнешнеторгового оборота, обменного валютного курса. [c.290]

Читать еще:  Курсы программирования на языке паскаль

Народнохозяйственный (экономический) анализ [e onomi analysis] — оценка и обоснование проекта с точки зрения национальной экономики страны. Использует в основном те же методы и критерии, что и финансовый анализ, отличается использованием расчетных, так называемых теневых цен на ресурсы. [c.381]

Непрямые (вторичные) выгоды [indire t benefit] — к ним относятся, в частности, увеличение дохода поставщиков сырья и материалов для созданного объекта и возможное снижение расходов у покупателей продукции, выпускаемой на этом объекте. В народнохозяйственном анализе подсчет непрямых выгод является методом, альтернативным использованию теневых цен. [c.383]

Платежная готовность willingness to pay — в народнохозяйственном анализе одна из расчетных величин, используемых, в частности, при оценке выгод от проекта. Применяется как расчетная (теневая) цена для потребительских товаров внутреннего оборота, представляет собой цену, которую потребители были бы готовы заплатить за товар. [c.386]

Рыночная цена [market pri e] —- в проектном анализе финансовая цена, т. е. реальная цена, используемая в финансовом анализе (в отличие от расчетных теневых цен, используемых в народнохозяйственном анализе. [c.390]

Теневые (расчетные) цены [shadow pri es — в народнохозяйственном анализе расчетные значения цен на товары и другие ресурсы, отражающие реальную стоимость этих ресурсов для национальной экономики. Использование теневых цен обусловлено тем, что в условиях несовершенной конкуренции и искажений, вносимых государственной политикой, внутренние рыночные цены во многих случаях не отражают реальной стоимости ресурсов и в этом смысле не являются оптимальными, что может привести к существенным ошибкам в определении возникающих в связи с проектом затрат и выгод для национальной экономики. В отечественной литературе аналогичная концепция оптимизационных цен была введена Л.В. Канторовичем («двойственные оценки»), применительно к отраслям. топливно-энергетического комплекса используется концепция «замыкающих затрат», которые являются одним из видов «двойственных оценок». [c.393]

Финансовая норма рентабельности [finan ial rate of return] — вычисляется с использованием в расчетах рыночных цен (в отличие от расчетных или теневых цен в народнохозяйственном анализе), чаще всего рассчитывается по формуле внутренней нормы рентабельности. [c.395]

Финансовая цена [finan ial pri e] — в финансовом анализе рыночная цена. Рыночные цены используются в финансовом анализе в отличие от народнохозяйственного анализа, где используются расчетные или теневые цены. [c.395]

Цена, отражающая (реальную) стоимость [pri e refle t value] — методологическая концепция, используемая в народнохозяйственном анализе. Исходит из предположения, что рыночные цены точно отражают стоимость, или реальную ценность, товаров только в условиях совершенной конкуренции, когда на рынке действует большое количество продавцов и покупателей, имеющих одинаковую и полную информацию. В условиях несовершенной конкуренции и особенно при наличии искажений, вызванных экономической политикой государства, рыночные цены не отражают реальной ценности продуктов, в связи с чем необходимо использовать расчетные («теневые») цены, являющиеся лучшим приближением к реальной стоимости продуктов, чем рыночные. [c.396]

Экономическая (народнохозяйственная) норма рентабельности [e onomi rate of return] — подсчитывается различными методами (чаще всего как внутренняя норма рентабельности) на основе расчетных экономических величин, используемых в рамках народнохозяйственного анализа (расчетных, или теневых цен, теневой заработной платы, теневого обменного курса валюты и т.д.) [c.398]

Теневая цена в линейном программировании это

ТЕНЕВЫЕ ЦЕНЫ ПРИ РАСПРЕДЕЛЕНИИ РЕСУРСОВ

Пчелинцев И.А, Гарькина И.А.

Пензенский государственный университет архитектуры и строительства

Наибольшую ценность обычно имеют те ресурсы, которые в наибольшей степени ограничивают выпуск продукции [1], тем самым и доход предприятия. Поэтому предприятие, очевидно, будет готово увеличивать именно эти ресурсы, несмотря на возможные значительные расходы. Отсюда следует, что каждый вид ресурса обладает некоторой теневой ценой, определяющей ценность ресурса для предприятия, то есть для дохода от реализации выпускаемой продукции, зависящей от наличного запаса этого ресурса и потребности в нем для выпуска продукции. Чем более ограничен ресурс, и чем больше потребность в нем при выпуске продукции, тем теневая цена этого ресурса будет выше. Однако установленные при принятом на предприятии технологическом процессе теневые цены не обязательно будут наилучшими. Введение других технологических процессов, возможно, позволит более рационально использовать все запасы ресурсов. Таким образом, существуют оптимальные теневые цены, соответствующие максимальному доходу предприятия, то есть оптимальному распределению ресурсов.

Как видим, определение оптимальных теневых цен оказывается тесно связанным с задачей линейного программирования, описываемой системой

bi ³ 0, i = ,

и целевой функцией

Для определения оптимальных теневых цен возможно составление и самостоятельной задачи линейного программирования. Действительно, обозначим теневую цену единицы ресурса Si через ui . Значения ui должны быть такими, чтобы теневая цена ресурсов, используемых в любом технологическом процессе, не была меньше получаемого дохода

Если ввести переменные um+ j ³ 0, представляющие собой превышение теневой цены единицы продукции над доходами от её реализации, то эта система неравенств превратится в систему уравнений:

Оптимальными ценами будут те, которые минимизируют общую стоимость ресурсов

Система ограничений (3) совместно с целевой функцией (2) даёт новую задачу линейного программирования, называемую двойственной задачей по отношению к прямой, или основной задаче линейного программирования, определяемой уравнениями (1) и (2). Прямая и двойственная задачи тесно связаны между собой. Если прямая задача является задачей максимизации, то двойственная — задачей минимизации.

Коэффициенты cj целевой функции f в прямой задаче являются свободными членами ограничений двойственной задачи. Свободные члены bi из ограничений прямой задачи становятся коэффициентами целевой функции q в двойственной задаче. Коэффициенты aij при переменных ui в ограничениях двойственной задачи представляют собой столбцы матрицы прямой задачи. Знаки неравенств в ограничениях меняются на противоположные.

По первой теореме двойственности если одна из пары двойственных задач имеет оптимальный план, то и другая имеет оптимальный план и значения целевых функций задач при их оптимальных планах равны между собой, то есть fmax = qmin .

Проиллюстрируем интерпретацию двойственной задачи на простом примере. Пусть диета должна обеспечивать не менее четырёх единиц протеина (фунт арахисового масла даёт единицу протеина, фунт бифштекса — две единицы). Определить оптимальную диету, минимизирующую стоимость всей диеты, если фунт арахисового масла стоит 2 доллара, а фунт бифштекса — 3 доллара. Для диеты, содержащей x1 фунтов арахисового масла и x2 фунтов бифштекса x1 + 2 x2 ³ 4, x1 ³ 0, x2 ³ 0. Стоимость всей диеты f = 2x1 + 3x2; оптимальная диета: x1 * = 0, x2 * = 2; fmax = 6 долларов.

Для покупателя, выбирающего между бифштексом и арахисовым маслом из условия минимальной стоимости получаемого протеина, двойственной задачей является та, которая стоит перед продавцом, продающим синтетический протеин (конкуренция между бифштексом и арахисовым маслом). Аптекарь хочет максимизировать цену синтетического протеина u1 . Она подчиняется линейным ограничениям. Во-первых, синтетический протеин не должен стоить больше, чем протеин в арахисовом масле (2 доллара за единицу) или в бифштексе (3 доллара за две единицы). При этом цена u1 должна быть не отрицательной. Поскольку диета требует четыре единицы протеина, доход продавца будет q = 4 u1 . Возникает двойственная задача: максимизировать q = 4 u1 , если u1 £ 2, 2 u1 £ 3 и u1 ³ 0. Здесь двойственную задачу решить легче, чем исходную (она имеет лишь одну неизвестную u1). Ясно, что фактически действует лишь одно ограничение 2 u1 £ 3 и максимальная цена u1 синтетического протеина равна 1,5 доллара. Поэтому максимальный доход qmax = 6 долларов. Это была минимальная стоимость в исходной задаче, и покупатель платит одинаково как за натуральный, так и за синтетический протеин. В этом и состоит смысл теоремы двойственности.

Читать еще:  Из чего состоит задача математического программирования

Приведенный подход эффективно использовался при выборе модификаторов для композиционных строительных материалов.

1. Данилов А.М.,Гарькина И.А., Домке Э.Р. Математическое и компьютерное моделирование сложных систем. — Пенза: ПГУАС, 2011. -296 с.

Теневая цена в линейном программировании это

Двойственная модель линейного программирования используется для изучения поставленной проблемы с точки зрения, отличной от той, которая исследуется в обычной прямой задаче. Прямая и двойственная модели приводят к одному и тому же решению и к получению одинаковой информации о чувствительности модели. Единственная причина, по которой предпочтение отдается той или иной модели, состоит в том, что одну из них решить, как правило, легче, чем другую. Однако по мере все более широкого распространения пакетов прикладных программ альтернативное использование прямой или двойственной задачи становится менее существенным. Переменные двойственной модели являются для исходной, или прямой, модели теневыми ценами ресурсов. Структура двойственной и прямой задачи одинакова. Если прямая модель линейного программирования построена, из нее легко получить соответствующую двойственную модель. В общем виде задачу линейного программирования можно сформулировать следующим образом:

в условиях системы из m линейных ограничений:

Сформулированная выше задача линейного программирования является зада чей максимизации, а все ее ограничения имеют знак К этому виду можно

привести любую модель линейного программирования, а затем построить двойственную к ней, как это будет показано ниже. Двойственная модель имеет следующий вид:

в условиях системы из линейных ограничений:

В этой задаче двойственных переменных у, каждая из которых соответствует одному из ограничений прямой задачи, и ограничений, каждое из которых связано с одной из переменных х прямой задачи. Коэффициенты целевой функции прямой задачи с и значения правой части ограничений в двойственной задаче меняются местами. Строки коэффициентов левой части системы ограничений прямой модели становятся столбцами в двойственной, а столбцы — строками. Двойственные переменные у являются теневыми ценами ресурсов в прямой задаче, и наоборот. В данном случае целевая функция двойственной задачи минимизируется, а целевая функция прямой задачи — максимизируется. Если ограничения прямой задачи имеют знак то ограничения двойственной задачи записываются со знаком

Пример 12.10. Некоторая фирма выпускает два продукта и каждый из которых требует двух видов сырья Для выпуска 1 кг продукта необходимо 2 кг сырья и 3,5 кг сырья Производство 1 кг продукта требует 3 кг и 1,5 кг . В распоряжении фирмы имеются 10 кг и 12 кг в неделю, трудовые ресурсы и производственные мощности — в неограниченном количестве, кроме того, фирма может реализовать всю произведенную продукцию. Прибыль от выпуска единицы продукта составляет ст., а от выпуска единицы продукта ст.

1. Для изложенной проблемы сформулируем задачу линейного програмирования, в которой максимизируется прибыль.

2. Построим двойственную модель линейного программирования.

3. Объясним взаимосвязи между моделями, построенными в п. 1 и 2.

4. Для обеих моделей нужно найти оптимальное решение графическим методом.

1. Производится кг продукта кг продукта в неделю. Максимизируется полученная за неделю прибыль ст.), где

в условиях следующей системы ограничений:

2. Используя формулировку прямой модели, построим двойственную модель: Минимизировать ст. в неделю)

в условиях следующей системы ограничений:

Продукт ст. за единицу;

Продукт ст. за единицу;

3. Прямая модель. Переменные модели — это количество каждого продукта, которое необходимо производить каждую неделю. Целевая функция задачи — это общая прибыль, получаемая в неделю от производства продуктов и Каждое ограничение соответствует одному виду сырья. Левая часть каждого ограничения представляет собой общее количество сырья одного вида, требуемое для производства обоих продуктов. Правая часть ограничений содержит общее количество сырья каждого вида, которое фирма может использовать в течение недели.

Двойственная модель. Переменные модели — это теневые цены ресурсов для прямой модели, т. е. величины, на которые увеличилось бы значение целевой функции при росте имеющегося запаса сырья соответствующего вида на единицу. Теневые цены характеризуют стоимость единицы сырья каждого вида. Целевая функция задачи — это общая еженедельная стоимость всех видов сырья, используемых при производстве и Каждое ограничение связано с одним из продуктов. В левой части каждого ограничения дана общая стоимость всех видов сырья, используемых при вьтуске 1 кг соответствующего продукта; в правой — прибыль от выпуска единицы соответствующего продукта. Обратимся вновь к формулировке двойственной модели и попытаемся дать интерпретацию отдельным ее компонентам (см. стр. 447).

Из кхкдого ограничения следует, что общая стоимость сырья, используемого для производства данного продукта, должна быть больше либо равна прибыли от производства единицы этого продукта. Из решения прямой или двойственной модели можно получить решение обратной модели.

4. Графическое решение прямой задачи приведено на рис. 12.28.

Оптимальным решением задачи является точка А, лежащая на пересечении линии ограничения на сырье 1 и оси Чтобы получать максимальную прибыль, следует производить только продукт в количестве 3 кг. При этом будет использоваться полностью, — нет. Максимальная прибыль составит: ст. в неделю. Ниже приводится графическое решение двойственной задачи (рис. 12.29).

(кликните для просмотра скана)

Минимизировать

Данная задача является задачей минимизации. Необходимо уменьшить значение целевой функции настолько, насколько это возможно, следовательно, перемещение линии уровня целевой функции осуществляется параллельно ее исходному положению в направлении начала координат. Точка является последней крайней точкой допустимого множества, через которую проходит линия уровня, и, таким образом, оптимальным решением двойственной задачи. является пересечением линии ограничения для продукта и оси у т.е.:

Минимальная стоимость ресурсов в двойственной задаче имеет вид:

Это значение совпадает со значением целевой функции прямой задачи.

Обобщая полученные решения, можно сделать вывод, что максимальное значение прибыли, равное ст. в неделю, достигается, если продукт выпускать в количестве 3 кг, а продукт не производить вообще. Стоимость сырья, т.е. теневые цены ресурсов, составила ст. за 1 кг и ноль для Эту же информацию можно было бы получить через проведение полного анализа только прямой задачи.

Ссылка на основную публикацию
ВсеИнструменты 220 Вольт
Adblock
detector
×
×